لطالما إرتبط إسم العالم نيوتن بقصتة الشهيرة عن التفاحة وقانون الجاذبية الأرضية وقوانين نيوتن للحركة. ليس ذلك فحسب حيث تنسب إليه العديد من الإنجازات في مجال الرياضيات فقد ساهم في وضع نظرية ذات الحدين للاسس الكبيرة، كما ينسب إلية اختراع علم التفاضل والتكامل المستعمل في كافة المجالات العلمية، وينسب إليه ايضا طريقة نيوتن لمتعددات الحدود ومتطابقات نيوتن.
في هذا المقال سوف نتحدث عن أحد إنجازات نيوتن في مجال الرياضيات وهي طريقة نيوتن أو كما تعرف بإسم نيوتن-رافسون نظراً لمساهمة العالم جوزيف رافسون في تطوير تلك الطريقة، لذلك سميت بإسم نيوتن-رافسون.
ماهى طريقة نيوتن ؟
تعتبر طريقة نيوتن رافسون مثالاً لخوارزميات التكرار العددي وهي خوارزمية لإيجاد جذور تابع حقيقي، وتستخدم هذه النظرية لإيجاد الحدود العليا والدنيا لمثل هذه التوابع عن طريق إيجاد جذوز المشتقة الأولي للتابع ويتم من خلالها حل معادلات غير خطية على صورة ثم يتم إيجاد قيمة مقربة للجذر الصحيح الواقع بين القيمتين (a,b) ومن ثم إيجاد القيم على شكل متتالية. تعد طريقة نيوتن أحد تطبيقات المشتقة الأولى (التفاضل) ومبنية على مفهوم المشتقة الأولى ورسم خط المماس للمنحنى (The tangent line of curve).
كيف تعمل طريقة نيوتن ؟
لقد درسنا في أحد المراحل الدراسية بمادة الرياضيات كيفية إيجاد قيم الحل لكثيرة الحدود من الدرجة الأولى او الثانية، فكما هو معروف لإيجاد قيم الحل لمعادلة من الدرجة الثانية ، الحل لـ يمكن إيجاده بإستخدام الصيغة العامة لمعادلة الدرجة الثانية. ولكن لكثيرة الحدود من الدرجة الخامسة أو أكبر يصبح الأمر معقداً واكثر صعوبة هذا الأمر ايضا ينطبق على الدوال غير كثيرة الحدود(Non-polynomial) مثال الدالة ، في هذه الحالات يتم إستخدام طريقة نيوتن لإيجاد الجذور التقربية.
تستخدم طريقة نيوتن لإيجاد قيمة تقريبية لمعادلة في الصورة ، نقوم بعمل رسم بياني للدالة ƒ لتقدير قيمة المعادلة .يمكن أن نبدأ بتسمية كقيمة تقريبية أولية ثم بعد ذلك نقوم برسم خط المماس من الدالة ƒ بإتجاه . إذا كانت المشتقة الأولى ƒ ’( ) ≠ 0 ، يتقاطع خط المماس مع المحور- عند النقطة ( ). الخطوة التالية نأخذ لتصبح القيمة التقريبية التالية بإتجاة الجذر الفعلي. وعلى ذلك النحو تصبح أقرب إلى الجذر الفعلي من .بعد ذلك نقوم برسم خط المماس من الدالة ƒ بإتجاه . إذا كانت المشتقة الأولى ƒ ’( ) ≠ 0 ،خط المماس يتقاطع مع المحور- ينتج عنه قيمة اخرى وهي ، نواصل هذه العملية حتى نحصل على مجموعة من القيم ، وعلى هذا النحو القيم تقودنا إلى الجذر الفعلي المراد إيجاده. الرسم البياني أدناه يوضح عمل طريقة نيوتن Figure 4.77:
Figure 4.77 The approximations x0,x1,x2,… approach the actual root x*. The approximations are derived by looking at tangent lines to the graph of f.
لتطبيق ما ذكرناه سابقا سنقوم بحل أحد المسائل المتعلقة بإيجاد قيم الجذور بإستخدام طريقة نيوتن.
ايجاد قيم الجذور باستخدام طريقة نيوتن
وبالتالي، جذر المعادلة تقريباً x=1.442
متى تفشل طريقة نيوتن ؟
تستخدم عادة طريقة نيوتن لإيجاد الجذور بصورة سريعة إالى حدِ ما ، ومع ذلك يمكن أن يؤدي ذلك إلى خطا. هنالك بعض الأسباب لماذا تفشل طريقة نيوتن ومنها التالي:
- عند أحد القيم التقريبية المشتقة الاولى تساوي صفر عند ولكن نتيجة لذلك خط المماس من الدالة عند لا يتقاطع مع المحور-x ، وبالتالي لا يمكن أن نستمر في عملية التكرار.
- القيم التقريبية ربما تقترب من جذر مختلف. إذا كانت الدالة لديها أكثر من جذر واحد ، حيث من المحتمل تلك القيم التقريبية لا تقترب من الجذر الذي نبحث عنة ، ولكنها تقترب من جذر اخر مختلف. هذا الحدث غالباً مايحدث عندما لا نختار القيمة التقريبية لـ قريبة كفاية من الجذر الفعلي.
- القيم التقريبية ربما تفشل تماماً في الإقتراب من الجذر، كما سنرى في المثال القادم ، حيث أن القيم التقريبية المتتالية لا تقترب نهائياً من الجذر لأن القيم التقريبية المتتالية تستمر في التناوب ذهاباً واياباً بين قيمتين.
نتيجة لذلك، القيم تستمر في التناوب ذهاباً واياباً بين القيمتين (0,1) ولاتقترب نهائياً من جذر الدالة الذي يقع في الفترة [-2,-1]، لحسن الحظ يمكن تجنب ذلك الخطأ إذا قمنا باختيار قيمة ابتدائية لـ قريبة من الجذر الفعلي.
يمكن القول بأن طريقة نيوتن هي خوارزمية تكرار عددي قائمة على مفهوم المشتقة الأولى وخط المماس للمنحنى لإيجاد جذور تابع حقيقي للدالة. حيث تسمح لنا بإيجاد الجذور بصورة سريعة وكفاءة ، ولكنها تصبح أكثر تعقيداً عندما تكون درجة كثيرة الحدود كبيرة جداً ، كما أنها أحيانا قد تفشل كما ذكرنا سابقاً.
تطبيقات طريقة نيوتن
تستخدم طريقة نيوتن في تطبيقات الحياة العملية في عملية تحليل تدفق المياه في شبكات توزيع المياه ، كما تستخدم في إيجاد الحل الأمثل في نماذج الإنحدار، ودوال النهاية الكبرى(local maxima) أو النهاية الصغرى(local minima). كما يمكن أيضا تطبيق خوارزمية نيوتن بصورة برمجية بإستخدام أحد لغات البرمجة. بالضغط على الرابط يمكنك الدخول لمعرفة كيفية تطبيق خوارزمية نيوتن برمجياً بإستخدام لغة بايثون.
المصادر:
Gilbert Strang, Calculus Volume 1, 2016, OpenStax, 4.9 Newton’s Method
Geeksforgeeks, www.geeksforgeeks.org/newton-raphson-method/amp/
Towardsdatascience, www.towardsdatascience.com/develop-your-own-newton-raphson-algorithm-in-python-a20a5b68c7dd,